“La fisica del caos. Dall’effetto farfalla ai frattali” è l’ottavo libro segnalato per la “Biblioteca dei classici della complessità”, al Complexity Literacy Web-Meeting dell’autunno 2020, evento co-organizzato dal Complexity Education Project insieme al Complexity Institute.

 

Le domande

Caos, caos deterministico, effetto farfalla, frattali… tutti concetti strettamente collegati.

Partiamo da una constatazione a suo modo stupefacente: ci sono sistemi fisici che, se descritti con gradi diversi di precisione, partono regolari, in maniera prevedibile e duplicabile, ma poi, a un certo punto, senza nessuna causa esterna, sviluppano comportamenti completamente diversi: parliamo in questi casi di caos deterministico.

Ma dire “caos deterministico” non ci fa pensare che si tratti di una contraddizione in termini? Abbiamo idea dei motivi per cui non si può prevedere l’andamento di un fenomeno caotico nemmeno se si stratta di fenomeni fisici apparentemente semplici, come il pendolo doppio, che non implicano la complessità dei sistemi viventi o sociali?

Insomma, questa volta facciamo un viaggio alle sorgenti di quei concetti base che troviamo richiamati in tutti i saggi che parlano di reti, sistemi, fenomeni, pensiero e paradigma cognitivo complessi.

 

 

Le risposte

Di risposte a queste domande se ne trovano in vari testi, a firma di studiosi e ricercatori di discipline, nazionalità ed epoche diverse.

Oltre al libro di Ugo Amaldi, che abbiamo scelto e di cui parliamo qui, possiamo ricordare molti volumi classici, tra cui:

Come funziona il caos. Dal moto dei pianeti all’effetto farfalla, di Ivar Ekeland, un libro del 2006 pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri nel 2010;

il super-classico Caos. La nascita di una nuova scienza, di James Gleick, un testo del 1988 pubblicato in italiano da BUR nel 2005;

Dio gioca a dadi? La nuova matematica del caos, di Ian Stewart, Bollati Boringhieri 2010 (l’edizione originale è del 1990);

A casa nell’universo. Le leggi del caos e della complessità, di Stuart Kauffman, Editori Riuniti 2001;

La passeggiata dell’ubriaco. Le leggi scientifiche del caos, di Leonard Mlodinow, libro del 1995 pubblicato in Italia da Rizzoli nel 2008;

un altro super-classico, Le leggi del caos, un libro del 1993 a firma di Ilya Prigogine, pubblicato da Laterza nel 2008;

risalgono ai primi anni Novanta del secolo scorso anche Caso e caos, di David Ruelle (pubblicato in origine nel 1991 e poi in Italia da Bollati Boringhieri nel 2003) e Determinismo e caos, di Angelo Vulpiani (prima edizione 1994, e poi rivisto e ripubblicato nel 2005 (Carocci editore).   

E molto indietro nel tempo, tra i tanti testi da leggere, suggeriamo La scienza e l’ipotesi di Henri Poincaré, del 1902, ripubblicato in italiano nel 2006 da Bompiani (a cura di C. Sinigaglia); e un famoso romanzo a firma di Robert Musil: Il giovane Törless del 1906.

 

Perché abbiamo scelto questo libro

Al contrario di tutti gli altri ottimi libri divulgativi, il volume che abbiamo scelto, La fisica del caos. Dall’effetto farfalla ai frattali di Ugo Amaldi (Zanichelli 2011), è un libro che non teme l’uso della matematica, quella matematica essenziale che si studia al liceo, dato che si tratta in effetti di un libro per le medie superiori.

È dunque un libro curatissimo, preciso, brillante, chiaro, didattico…. che volete di più per entrare a contatto con concetti di fisica certo non semplici?

(tra parentesi, dovremmo chiederci, ancora una volta, perché ci vergogniamo di non aver letto una poesia o un romanzo classico e non ci vergogniamo di non saper leggere e frequentare quelle formule matematiche che della poesia hanno la sintesi e la capacità di illuminazione sulla realtà?).

Altro punto di forza di questo volume di poco più di un centinaio di pagine di grande formato, ricco di schede, e denso di concetti, è il suo richiamo strutturale e costante a brani di letteratura, a citazioni di filosofia, a riferimenti cinematografici per far calare le formulazioni teoriche dentro l’humus della nostra cultura più diffusa e condivisa; ecco così i richiami a Dostoevskij, Faulkner, Camus, Nietzsche o Adorno per affrontare i diversi significati che vengono dati alla parola caos in epoche e culture diverse; oppure i richiami a Crichton, Bradbury o Spielberg per narrare in modo più efficace, dal punto di vista del coinvolgimento emotivo, concetti chiave come la dinamica non lineare, la teoria del caos, l’effetto farfalla o i sistemi complessi.

Tutto ciò accanto a schede “tecniche” molto impegnative, come quelle sul sistema di Sprott, gli esponenti di Lyapunov o i diagrammi di biforcazione, che il lettore può comunque saltare a pie’ pari senza perdere il filo del discorso.

Ecco, è questa stratificazione di piani di lettura che abbiamo trovato particolarmente interessante ed efficace in questo libro per le scuole medie superiori.

 

Il sommario

Ecco come la casa editrice presenta il libro nella quarta di copertina:

“… Anche se non è possibile prevedere con precisione l’evoluzione di un sistema caotico, la fisica ha elaborato modelli matematici in grado di descriverne il comportamento complessivo: anche nei fenomeni caotici, apparentemente privi di qualsiasi regolarità e prevedibilità, c’è un ordine nascosto.

I modelli usati per descrivere questi fenomeni sono spesso di grande complessità, come gli attrattori frattali, enti geometrici che riproducono la propria struttura a scale sempre più piccole.

Questo libro mira a fornire i principali concetti della teoria del caos, partendo sempre da esperimenti su sistemi fisici reali e arrivando a modelli matematici che li descrivono, per scoprire che molti dei fenomeni che ci circondano sono governati dalla fisica del caos: il tempo meteorologico, un rubinetto che perde, lo scoppio delle pandemie, il sistema solare, il battito del nostro cuore.”

 

Nota importante (utile): c’è un intero sito dedicato dalla Zanichelli a questo libro: è una raccolta di video, conferenze, animazioni ed esperimenti, dedicati a ciascun capitolo del libro.

Ecco il link: https://online.scuola.zanichelli.it/lafisicadiamaldi/lafisicadelcaos/

 

L’autore

Ugo Amaldi è un fisico che ha lavorato per decenni nel campo degli acceleratori di particelle, figlio di Edoardo (uno dei “ragazzi di via Panisperna” insieme a Fermi e Segré) ed è noto per la serie di accurati libri di fisica dedicati agli studenti dei licei scientifici italiani.  

Hanno collaborato con lui alla realizzazione del volume La fisica del caos Adele La Rana, Gianni Melegari ed Elena Joli.

 

L’indice dei contenuti

Vediamo come Ugo Amaldi affronta il tema del caos deterministico e di tutto ciò che da questo deriva. Per prima cosa diciamo che il libro è diviso in quattro parti:

  1. Fenomeni caotici semplici
  2. Attrattori caotici
  3. Mappe, biforcazioni e frattali
  4. Sguardo d’insieme

Diamo uno sguardo dentro ciascuna parte, notando la struttura dei testi: ciascun concetto chiave di regola è presentato sperimentalmente e spiegato teoricamente in pochissime pagine; nei punti chiave del percorso di studio sono collocati poi dei box impaginati su una doppia pagina, dedicati a qualche significativo episodio di storia della fisica (per esempio “Laplace e il determinismo”) o ad agganci fra fisica e letteratura o filosofia o fantascienza o cinema (per esempio “Crichton e l’effetto farfalla”); ci sono poi box dedicati all’approfondimento degli aspetti matematici (per esempio “La polvere di Cantor”), che un lettore non esperto può saltare senza alcun problema; ci sono riepiloghi sintetici delle leggi e dei concetti emersi dal discorso; e ci sono esercizi per rafforzare la conoscenza acquisita.

Un vero manuale per la scuola, ricco e stimolante. Con link alle risorse on line da non trascurare.  

 

Veniamo ai temi più importanti affrontati nelle quattro parti del libro (ciascuna sviluppata su una trentina di pagine). 

 

Prima parte, “Fenomeni caotici semplici”:

Il pendolo semplice > Regime non lineare e dissipatività > Lo strano comportamento del pendolo doppio > Problema dei tre corpi (un Sole, due Soli) > Comportamenti caotici > Il determinismo e il caos deterministico (Nascita della impredicibilità) > L’oscillatore armonico > Lo spazio delle fasi di un oscillatore > Attrattori normali > Il caos deterministico è dappertutto.

 

Seconda parte, “Attrattori caotici”:

Attrattori strani > Le equazioni di Lorenz > Comportamento caotico del sistema di Lorenz (Sensibilità alle condizioni iniziali) > L’attrattore di Lorenz (L’effetto farfalla) > Divergenza esponenziale delle traiettorie > Caos e frattali (L’autosomiglianza) > Proprietà dei sistemi soggetti al caos deterministico.

 

Terza parte, “Mappe, biforcazioni e frattali”

(questo capitolo presenta passaggi matematici impegnativi ma può essere saltato senza perdere il filo del discorso; indichiamo qui solo alcuni dei paragrafi interni):  

Gli esponenti di Lyapunov (forniscono una misura della velocità con cui si allontanano due traiettorie inizialmente vicine o viceversa) > Come distinguere gli attrattori > Dai cicli periodici al caos e viceversa > Diagrammi di biforcazione > I sistemi con tempo discreto e i conigli di Fibonacci > Equazioni non lineari e mappe (La mappa logistica) > Le proprietà dei sistemi caotici.

 

Quarta parte, “Sguardo d’insieme”:

Caos fisico e caos matematico (Cuori sani e cuori malati) > Sistemi dinamici complicati e caos deterministico (previsioni meteorologiche) > I frattali (Il frattale di Mandelbrot).

 

Qualche citazione

 

Etimologia della parola caos.

 “La parola caos deriva dal termine greco chàos, che vuol dire fenditura o anche, in senso figurato, abisso. Nelle antiche cosmogonie greche, chàos stava a indicare la materia primigenea e informe, che costituiva l’universo primordiale prima che gli elementi aria, acqua, terra e fuoco si combinassero a formare il kòsmos, l’universo ordinato. Il chàos era dunque l’abisso che precede la forma, da un lato assenza di ordine, dall’altro voragine feconda di possibilità: l’universo in potenza, prima che si costituisse in strutture stabili e definite”: è questa la notazione che apre l’Introduzione del libro di Ugo Amaldi, La fisica del caos.

Il testo, dopo questa nota etimologica, prosegue poi anticipando definizioni e concetti chiave a proposito di caos deterministico, sistemi non lineari, imprevedibilità nel tempo e difficoltà di calcolo, Lorenz e la nascita della teoria del caos.

 

Caos deterministico.

Vediamo per esempio la definizione di caos deterministico e di sistemi non lineari:

“Oggi nella scienza la parola caos ha un significato specifico: la teoria del caos (deterministico) studia quei sistemi dinamici la cui evoluzione è estremamente sensibile alle condizioni iniziali. Variazioni anche minime nei dati di partenza provocano a lungo andare grandi effetti nella dinamica del sistema, portandolo verso stati completamente diversi. Molti sistemi reali possiedono questa caratteristica, dall’atmosfera terrestre al mercato finanziario”.

“Si parla di caos deterministico, perché sono conosciute e ben determinate le relazioni tra cause ed effetti all’interno del sistema, ma ciò non impedisce che vi si instauri un regime caotico. All’origine di questo comportamento sta la non linearità delle equazioni che li descrivono; è per questo che la teoria del caos prende anche il nome di teoria dei sistemi non lineari. La non linearità pone diversi problemi. Per esempio, la estrema sensibilità alle condizioni iniziali fa sì che il comportamento di un sistema non sia predicibile a lungo termine”.

“I sistemi descritti da modelli caotici sono spesso di grande complessità. Eppure, già sistemi estremamente semplici come il pendolo doppio possono dare origine al caos: le forze in gioco sono note e ben definite, eppure le corrispondenti equazioni non lineari danno vita a soluzioni caotiche”.

 

Effetto farfalla e teoria del caos.

Fisica e letteratura: vediamo come parlano di questo fenomeno due scrittori di fantascienza.

“Ray Bradbury, scrittore statunitense che ha rinnovato il genere fantascientifico, nel suo racconto Rumore di tuono, riprende dalla teoria del caos la definizione di “effetto farfalla” e la consegna alla storia: variazioni anche piccole nelle condizioni iniziali di un sistema producono grandi variazioni nel comportamento a lungo termine”.

In un brano di Michael Crichton tratto da Jurassic park (Garzanti 1990), riportato integralmente a pag. 46-47, “sono concentrati tutti i temi scientifici che ruotano intorno alla teoria del caos – instabilità, imprevedibilità, sensibilità alle condizioni iniziali, evoluzione di un sistema, dinamica non lineare – e si accenna al fatto che la teoria del caos è utilizzata nell’analisi e nella descrizione di svariati sistemi complessi, dall’andamento dei mercati finanziari alle studio delle connessioni cerebrali, dalla dinamica delle popolazioni ai frattali”.

 

I frattali e l’autosomiglianza.  

“Meraviglie senza fine nascono da regole semplici, ripetute all’infinito” (Benoit Mandelbrot)

“I frattali sono buoni modelli di molti sistemi statici che si incontrano in natura. L’autosomiglianza che li contraddistingue è una caratteristica molto diffusa. Se si estrae una cima da un cavolo romanesco si nota come essa abbia, in piccolo, una struttura simile all’intero (…) Trattandosi di oggetti reali e non di entità geometriche astratte, l’autosomiglianza non si estende a infiniti ordini di ingrandimenti e non è perfetta. Si parla di autosomiglianza statistica: le proprietà geometriche restano statisticamente simili a diverse scale.

 

 

Dimensioni frattali.

 

“Per coste particolarmente irregolari, diviene problematica la definizione pratica di lunghezza, perché la sua misura varia a seconda del livello di dettaglio con cui si guarda il litorale: quanto maggiore è la risoluzione dello strumento di misura, tanto più la lunghezza cresce. Oggetti di questo tipo hanno un’intrinseca natura frattale. La “dimensione frattale” dà la misura di quanto un oggetto è frastagliato. Per esempio, le coste della Grecia sono ben descritte da un frattale di dimensione D = 1,3 a differenza delle coste piatte del Sudafrica, la cui dimensione è prossima a D = 1, come quella di una curva. Queste forme non trovano posto nella geometria comune: esse possono essere descritte soltanto da modelli frattali”.

Benoit Mandebrot (1924-2010), padre della geometria frattale, affermava: “Ho costruito una geometria per cose che prima non avevano geometria”.

 

E per finire, dedicato a chi sa che cos’è lo “spazio delle fasi”, ecco la definizione di

Attrattore strano.

“Gli attrattori strani di un sistema caotico dissipativo sono curve di lunghezza infinita che sono contenute in un volume finito dello spazio delle fasi; la traiettoria dell’attrattore strano è estremamente sensibile alle condizioni iniziali.

Piccole differenze nelle condizioni iniziali si traducono in grandi differenze nelle traiettorie. Tuttavia, la forma complessiva delle traiettorie e la regione dello spazio delle fasi in cui si evolvono non cambiano: traiettorie che partono da punti vicini dello spazio delle fasi si allontanano tra loro, ma seguono globalmente l’andamento dell’attrattore”. 

Ricordiamo che: “In generale per attrattore strano di un sistema si intende la figura geometrica che descrive l’andamento complessivo delle traiettorie del sistema nello spazio delle fasi, per fissati valori di suoi parametri corrispondenti a un comportamento caotico”.

 

(Valerio Eletti)